2017年全国高中数学联赛真题（一试+二试）（A卷）（教师版含详细解析） - 产品中心

2020年全国高中数学联赛一试答案(B卷)

一、

一、填空题,本大题共8小题,每小题8分,满分64分.

若一个实数x符合对数等式，该等式为以2为底x的对数等于以4为底2x的对数加上以8为底4x的对数，那么这个实数x的值等于2

解析:128.

依照要求,可知log2x等于,12加上12乘以log2x,再加上23加上13乘以log2x,于是log2x就等于7,进而x等于128。

在平面直角坐标系xOy内,圆Ω通过点(0,0),(2,4),(3,3),那么圆Ω上的点离原点的最大距离是

解析:2√5.

点A坐标为零零，点B坐标为二四，点C坐标为三三；线段AC的斜度是一，线段BC的斜率是负一；因此线段AB是圆Ω的直径；所以所求距离的顶点值是线段AB的绝对值，等于二根号五

从1到20的整数中，选取至少两个连续整数的组合数量是多少

解析:190.

从1(2)···,20中任意选择a,b两个数,a

(a,b),→{a,···,b},

因此所求集合个数为(20)=190,

在三角形ABC里面,BC边长是4,CA边长是5,AB边长是6,那么sin6A2加上cos6A2等于多少,分析过程如下,434.根据题目条件,有cosA等于AB平方加上AC平方减去BC平方,再除以AB乘以AC,也就是6平方加上5平方减去4平方,除以6乘以5,结果是3分之4,因此sinA等于根号下7,所以

sin六分之六A平方加cos六分之六A平方等于, sin二分之六A平方加cos二分之六A平方, sin四分之六A平方减去sin二分之六A平方乘以cos二分之六A平方再加cos四分之六A平方, sin二分之六A平方加cos二分之六A平方乘以二减去三乘以sin二分之六A平方乘以cos二分之六A平方, 再除以一减去三分之四乘以sin四分之六A平方的四次方

集合A包含九个元素,每个元素都是形如a+bi的复数形式,其中a和b的取值范围是1到3,且i代表虚数单位,排列α由集合A中的所有元素组成,元素顺序依次为z1到z9,要求每个元素的模长依次递增,计算这种排列α的数量,结果是八种

如图,A中所有元素的模的分布为

|z|√2√5√8√10√13√18

个数121221

1个个个个个个

因此这样的排列α的个数为1·2·1·2·2·1=23=8,

6.已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为,

分析：7√21π,依据对称性,题目中正三棱柱的外接球球心位于上下底面中心连线的中心位置,因此外接球的半径为

,,(32)2+,3·√3·23,2=√21,

因此所求外接球的体积为43,√21,3=7√21π,

在凸四边形ABCD里面, 向量CD等于两倍的向量DA, 点P位于四边形ABCD的平面内, 满足

−→A+2020−→B+−→C+2020−−→D=−→0.

设s,t分别为四边形ABCD与,PAB的面积,则ts=,

分析：337021.AB(CD)BD,AC的中间点分别是M(N)X(Y)BC的长度是2AD的长度也是2,BC和AD之间的间隔是d,那么

MX=YN=12AD=12,XY=MN−MX−YN=12,

MNPBC

于是

一个物质转化为另一种物质，接着这种物质再转变为第三种物质，然后第三种物质与另一种物质发生反应，最终生成一种无物质状态，这意味着第一种物质与第二种物质结合，由此可以推断出PX等于1042，所以时间点ts等于PAB

这个等式等于三十二加上一千零四十二，结果是三十三万七千零二十一分之一。

−→0,

已知一个五次多项式f(x)，其首项系数为1，当n取1, 2, 3, 4, 5时，函数值分别为8, 16, 24, 32, 40，该多项式的二次项系数为某个特定数值。

解析:282.

根据题意,有

5f(x)−8x=,(x−k),k=1

···

(5)则f(x)的一

所以f(x)的线性项的数字因数是8加上120乘以1加12加13加14加15,最终结果等于282。

第二部分为解答题,总共包含三个分题,总分为56分。作答时需要提供文字说明、证明过程或计算步骤。其中第九题的分数为16分,第十题和第十一题的分数均为20分。

在椭圆里，A是长轴的一端，B是短轴的一端，F1和F2是两个焦点，如果向量AF1和向量AF2的数量积加上向量F1和向量F2的数量积等于零

求tan∠ABF1·tan∠ABF2的值,

分析：A点位于右侧端部，B点位于顶部位置，F1和F2分别作为左侧与右侧的焦点，O点是F1与F2连线的中心位置

OF21Ax

依照极化恒等式,可知F1点乘向量F2,减去向量F2点乘F1,等于零,当且仅当A乘以F1点乘F2,加上B乘以F1点乘F2,也等于零

所以OA的平方加上OB的平方等于两倍OF的平方，而且OB的平方加上OF的平方等于OA的平方，由此

OA:OB:OF=√3:1:√2,

于是

正切角ABF1乘以正切角ABF2，等于正切角ABO加上正切角OBF1，乘以正切角ABO减去正切角OBF1，再乘以根号下三，加上根号下二，再减去根号下二

=1−√3·√2·1+√3·√2

=−5.

10.设正实数a(b)c满足

求1a+2b+3c的最小值,

a2+4b2+9c2

等于四b加上十二c减去二,根据条件,有a的平方加上二b减一平方加上三c减二平方等于三,是a除以一加上二b加上三c,一加二加三平方加上二b加上三c等于三十六

=a+(2b−1)+(3c−2)+3

,363·,a2+(2b−1)2+(3c−2)2+3=6,

等号当a=b=c=1时取得,因此所求最小值为6,

设数列an的通项公式为an等于根号下五除以一减去根号下五的n次方乘以一加上根号下五的n次方,然后除以二,当n等于一的时候,这个公式也适用,证明,存在无穷多个正整数m,使得am加上四乘以am减一是一个完全平方数,解析,

根据求数列通项的特征根法,有

···

an+2=an+1+an,n∈N∗,

而且首项与第二项均等于一,注意数列各项的规律性呈现11235813213455

尝试证明a2k+2−akak+4=(−1)k.

留意到a23-a1a5的值为负一,只需验证a2k+4-a k+2-a k+6等于负一乘以a2k+2-a k-a k+4的结果

也即ak+6+ak+2=ak+4+akak+4=ak+2,

而ak+4等于ak+3加上ak+2,ak+3等于2ak+2加上ak+1,ak+2等于3ak+2减去ak,因此ak+4加上akk+2等于3,所以命题成立,总而言之,对于所有正奇数m,am+4和am−1的乘积等于a的2m+2次方,这个数是完全平方数

2020年全国高中数学联赛二试答案(B卷)

一、

如图A,B,C,D,E是圆Ω上按次序排列的五点,且角ABC等于角BCD,角BCD等于角CDE,点P,Q分别位于线段AD和BE上,并且点P位于线段CQ之内,需要证明角PAQ等于角PEQ

ADEQ

解析:.

设AD与BE交于点S,CQ的延长线交圆Ω于T,

ADET

察觉到ABC等于BCD,也等于CDE,所以AB和CD所夹的圆周角度数相同,记作α,而BC和DE所夹的圆周角度数相同,记作β,这样

∠ATQ=∠ATC=α+β,

∠PTE=∠CTE=α+beta,

∠PSQ=∠BDA+∠DBE=α+β.

根据∠ATQ等于∠PSQ可以知道S、A、T、Q四点位于同一圆周上,又因为∠PTE等于∠PSQ,所以P、S、T、E四点也位于同一圆周上,由此可见

∠PAQ=∠PTS=∠PEQ.

是否存在集合A的非空子集S1和S2,这两个子集满足条件,第一,S1与S2没有公共元素,它们的并集是集合A,第二,S1和S2都包含至少四个数字,第三,S1中所有数字的总和正好等于S2中所有数字的积,需要证明是否存在这样的子集。

解析: .

A里各项数值合计为190，又因为6的阶乘是720，所以S2最多只能包含五个成员，可以确认

{一种组合包括两个部分，第一个部分由数字一、二、三组成，第二个部分由数字五或六组成}，{另一种组合包括两个部分，第一个部分由数字一、二、三组成，第二个部分由数字四或六组成}，{还有一种组合包括两个部分，第一个部分由数字一、二、三组成，第二个部分由数字四或五组成}

可以确定没有满足条件的五元集合S2,需要考察一个四元集合S2={a,b,c,d},并且a

a加b加x加y加ab乘以xy等于190,等价于ab乘以x加1乘以ab乘以y加1等于ab乘以一百九十减去a减去b再加1

关于若干算式，先看第一个式子，其中含有变量x和y，展开后可得结果为152，该式对应点为坐标(7,12)；再看第二个式子，同样涉及变量x和y，计算结果为143，其对应点坐标为(4,14)；继续观察第三个式子，依然包含变量x和y，但经过运算后无解，该式对应点为坐标(6,14)；最后分析第四个式子，该式子也含有变量x和y，但计算结果为3乘以13乘以19，其对应点坐标为(6,14)。

在其余状况里a bx y会超过190, 这样就没有办法解答, 所以会有满足题目要求的S1(S2), 其中S2集合要么是{1(2)7,12}, 要么是{1(3)4, 14}, 而S1则是从A中去除S2后的剩余部分

三、已知正整数n（等于二）,设有数列a1（a2）……（an）与b1（b2）……bn,它们均大于零,且

第一部分的总和等于第二部分的总和，前者由各项a1、a2直至an组成，后者由各项b1、b2直至bn构成

且对任意i(j )1,i

设S等于a1加上a2, 再加上后续各项, 同样也等于b1加上b2, 再加上后续各项

(ai aj),(bi+bj)=(n−1)S,

1,i

,,i

于是

S2等于各项ai相加的和,2等于各项a2加上2的和

设a,b为不超过12的正整数,若存在常数C,则an+bn+9除以13余数总为C,求所有符合此条件的有序数对(a,b)

解析: .