全国高中数学联赛模拟试题(四)部分答案 .pdf

全国高中数学联赛模拟测试（四）第一场 一、单项选择（每题6分，共36分）：1、函数f(x) = a/(x+a)成为奇函数的必要且充分条件是a在-1到0之间或0到1之间（A）-1≤a＜0或0＜a≤1（B）a≤-1或a≥1（C）a＞0（D）a＜02、已知三点A(-2,1)、B(-3,-2)、C(-1,-3)和动直线l：y=kx，当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列判断中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（D）点A、B、C都不在直线l上3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和BC形成的角都为60°，这样的直线l可以作几条（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4、整数n=C(100,2)的质因数最大值是200（A）61（B）67（C）83（D）975、若正整数a使得函数y=f(x)=x+13-2ax的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3（B）4（C）7（D）86、在正整数序列中，从1开始按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最近的5个连续奇数17、19、21、23、25。按此规则持续染色，得到一红色子序列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…，则在这个红色子序列中，从1开始的第2003个数是（A）3844（B）3943（C）3945（D）4006二、填空题（每题9分，共54分）：1、在复平面上，直角三角形ABC的顶点A、B、C分别对应复数z+1、2z+1、(z^(2m+1))，A为直角顶点，且|z|=2。设集合M={m|z∈R，m∈N}，P={x|x+1=m^(2/4)，m∈M}。则集合P所有元素之和等于。2、函数f(x)=|sinx|+sin2x+|cosx|的最大值与最小值之差等于。3、关于x的不等式(x^(2)+2a^(2)+2x-a^(2)+4a-72)/(x^(2)+a^(2)+4a-5x-a^(2)+4a-7)<0的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是。4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年，其余的60%给项目N。预计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润。年终银行必须回笼资金，同时按一定回扣率支付给储户。为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是。5、已知点(a,b)在曲线arcsinx=arccosy上运动，且椭圆ax^(2)+by^(2)=1在圆x^(2)+y^(2)=3的外部（包括二者相切的情形）。那么，arcsinb的取值范围是。6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球。已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R。设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan(α+β)的值是。三、（20分）三角形ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件（i）a、b、c均为整数；（ii）a、b、c依次成等比数列；（iii）a与c中至少提出你的选择方法，并说明理由 第 3 页 共 4 页参考答案第一试 一、选择题：题号123456选项CBADCB 二、填空题：11、 ；2、 ；273、；4 、10%；   4 3R5、 , ,